线性代数:行列式计算方法

17 Jul 2017

The contents are from chapter 5 section 2 of Introduction to Linear Algebra, Book of Gilbert Strang, edition 4th.

5.2节内容主要是求解行列式的三种方法：

• 主元求解行列式（The pivot formula）
• 主公式求解行列式（The big formula for determinants）
• 代数余子式求解行列式（Determinant by Cofactors）

课本内容一步步引导，因为之前学过线性代数，这部分内容不难看懂。

0. 主要内容回顾

1. 矩阵A，没有经过行变换，其行列式为主元乘积，\(\det A=(product \ of \ pivots)\)。在左上三角矩阵中，\(\det A_k =(product \ of \ the \ first \ k \ pivots)\)，也就是说，前k行和k列组成的矩阵\(A_k\)，其行列式为前k个主元的乘积。
2. 大公式中的每一项都使用矩阵中的每一行，每一列，且没有重复项。n!个项中一半的符号为正，一半符号为负。
3. 矩阵A的代数余子式\(C_{ij}\)为\((-1)^{i+j}\)乘上去掉矩阵A第i行第j列后矩阵的行列式，
4. 当矩阵的某一行或某一列出现0的数目多时，只需计算少数几个代数余子式就能得到矩阵行列式。

1. 主元求行列式

例1

\[A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, PA = \begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \det A = -(4)(2)(1)\]

将矩阵A的第一行和第一列互换，则得到矩阵 PA，A的行列式值\((-1)^{i} * 主元乘积\)，其中i为行变换次数。因为置换矩阵（Permutation Matrix）\(P = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\), 其行列式为(-1).

\(\begin{align} \det (PA) &= 4*2*1 = 8 \\ &=(\det P)(\det A) \\ &= \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} \\ &= (-1)(\det A) \end{align}\),

因此可以得到\(\det A = -(4)(2)(1) = -8\)

例 2: -1,2,-1 矩阵 A

\[A=\begin{bmatrix} 2 & -1 & ~ & ~ & ~ \\ -1 & 2 & -1 & ~ & ~ \\ ~ & -1 & 2 & \cdot & ~ \\ ~ & ~ & \cdot & \cdot & -1 \\ ~ & ~ & ~ & -1 & 2 \end{bmatrix} =LU= \begin{bmatrix} 1 & & & & \\ -\frac{1}{2} & 1 & & & \\ & -\frac{2}{3} & 1 & & \\ & & \cdot & \cdot & \\ & & & -\frac{n-1}{n} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 & & & \\ & \frac{3}{2} & -1 & & \\ & & \frac{4}{3} & -1 & \\ & & & \cdot & \cdot \\ & & & & \frac{n+1}{n} \end{bmatrix}\] \[\det A = 1(2)(\frac{3}{2})(\frac{4}{3}\cdots\frac{n+1}{n}) = n+1\]

上三角矩阵U的主元来自于A矩阵的左上角子矩阵[2]。前k个主元来自矩阵A的(kxk)左上三角子矩阵\(A_k\)。其行列式\(\det A_k = d_1 d_2 \cdots d_k\)。也就是说-1,2,-1矩阵A=LU中，U的主元可通过下面的方式求得：

\(d_k = \frac{d_1 d_2 \cdots d_k}{d_1 d_2 \cdots d_{k-1}}=\frac{\det A_k}{\det A_{k-1}}\).

2. 主公式求解行列式（Big Formula）

如何得到求一个矩阵行列式？有一种方法是采用主公式（Big Formula）。这个公式如何得来，书本讲解到位。从简单出发，慢慢推演。

先来看看矩阵A：

\(A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\), \([a \ b] = [a \ 0] + [0 \ b]\), \([c \ d] = [c \ 0] + [0 \ d]\), \(\begin{align} \det A &= \begin{vmatrix} a+0 & 0+b \\ c & d \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a & 0 \\ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & b \\ c & d \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a & 0 \\ c+0 & 0+d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & b \\ c+0 & 0+d \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & b \\ c & 0 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 0 & b \\ 0 & d \end{vmatrix} \end{align}\)

这样A的行列式就分解为\(2^2=4\)个行列式，但这里有两个行列式中都存在一列元素全为0（第1个和第4个行列式），这两个行列式值为0。那么就剩下\(2!=2\)个行列式：

\[\begin{align} \det A &= \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & d \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & b \\ c & 0 \end{vmatrix} \\ &= ad \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + bc \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ &= ad - bc \end{align}\]

对于3x3的矩阵A的行列式,按上面的方式，展开求解行列式，展开项个数为\(3^3=27\)个，其中存在某一列都为0的行列式，这些行列式值为0，最后就剩下\(3!=6\)个行列式，如下所示。

\[\begin{align} \det A &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & & \\ & a_{22} & \\ & & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} & a_{12} & \\ & & a_{23} \\ a_{31} & & \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} & & a_{13} \\ a_{21} & & \\ & a_{32} & \end{vmatrix} \\ &+\begin{vmatrix} a_{11} & & \\ & & a_{23} \\ & a_{32} & \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} & a_{12} & \\ a_{21} & & \\ & & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} & & a_{13} \\ & a_{22} & \\ a_{31} & & \end{vmatrix} \end{align}\]

上面等式右边六个行列式中的列的数目分别为

• (1,2,3)：基准顺序
• (2,3,1)：需要经过两次(偶数次)列变换变为(1,2,3)，(行列式符号为+)
• (3,1,2)：需要经过两次(偶数次)列变换变为(1,2,3)，(行列式符号为+)
• (1,3,2)：需要经过1次(奇数次)列变换变为(1,2,3)，(行列式符号为-)
• (2,1,3)：需要经过1次(奇数次)列变换变为(1,2,3)，(行列式符号为-)
• (3,2,1)：需要经过1次(奇数次)列变换变为(1,2,3)，(行列式符号为-)

所以可以得到；

\[\begin{align} \det A &= a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} \\ &+ (-1)a_{11}a_{23}a_{32} + (-1)a_{12}a_{21}a_{33} + (-1)a_{13}a_{22}a_{31} \end{align}\]

那么nxn的矩阵A，A的行列式为n!个分解行列式的和。

\[\det A = \sum(-1)^p a_{1\alpha}a_{2\beta}\cdots a_{n\omega} = Big~Formula\]

其中，p为\((\alpha, \beta, \cdots, \omega)\)变为(1,2,3, …,n)所需进行的列变换的次数。

3. 代数余子式求矩阵行列式

通过矩阵的代数余子式（cofacts）来计算矩阵行列式，本质和上一节主公式求解行列式相同。上一节是将矩阵的行列式拆解为多个简单的行列式，而这一节的方法类似，将矩阵行列式拆解，只是拆解方法不一样，我们且来看一个3x3矩阵的行列式拆解。

\[\begin{align} \det A &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & & \\ & a_{22} & a_{23} \\ & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} & a_{12} & \\ a_{21} & & a_{23} \\ a_{31} & & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} & & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & \\ a_{31} & a_{32} & \end{vmatrix} \\ &= a_{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{12}(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}(-1)^{1+3} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \end{align}\]

我们可以看到，将矩阵A的第一行中每个元素单独提取出来（比如元素\(a_{1j}\)），分别去掉其所在行和列（去掉第一行第j列），那么就剩下一个2x2的子矩阵\(M_{1j}\)(上式中的2x2的行列式所对应的矩阵)，定义第一行元素对应的代数余子式为

\[C_{1j} = (-1)^{1+j} \det M_{1j}\]

那么任意矩阵A的行列式可以用代数余子式形式表示：

\[\det A = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots + a_{1n}C_{1n}\]

我们选取的是第一行，我们也可以选取矩阵中的任意一行或一列来计算矩阵的行列式。比如提取第i行，则代数余子式为：

\[C_{ij} = (-1)^{i+j} \det M_{ij}\]

行列式表示为：

\[\det A = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in}\]

同样，我们可以提取第j列，则代数余子式表示为： \(C_{ij} = (-1)^{i+j} \det M_{ij}\)

行列式表示为：

\[\det A = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + \cdots + a_{nj}C_{nj}\]

代数余子式表示行列式，并求取行列式挺容易理解吧。

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人生苦短, 为欢几何.