线性代数:克莱姆法则-逆矩阵和体积
24 Jul 2017The contents are from chapter 5 section 3 of Introduction to Linear Algebra, Book of Gilbert Strang, edition 4th.
5.3节内容主要关于克莱姆法则Cramer’s Rule，在克莱姆法则基础上求解矩阵的逆矩阵；以及矩阵的应用-利用矩阵求解三角形的面积与平行六面体（3-dimension box）的体积；最后介绍向量叉乘（cross product），向量三重积（triple product）与矩阵行列式、体之间的关系。
- 克莱姆法则与逆矩阵
- 三角形的面积
- 向量叉乘
- 三重积=行列式=体积
1.克莱姆法则与逆矩阵
记得大学时候，克莱姆法则直接记住就可以使用了，然而也不知道如何推导出克莱姆法则。Gilbert Strang 的这本教材，讲解克莱夫法则的由来。我们一起来看看。
从前面的章节中，我们知道可使用消元法来解线性方程组\(Ax=b\)，如果矩阵A的逆矩阵存在，我们也可以通过其逆矩阵\(A^{-1}\)来解线性方程组。另外一种方法就是使用克莱姆法则，那么如何使用克莱姆法则解线性方程组呢？
关键之处在于此：
\[\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 & 0 & 0 \\ x_2 & 1 & 0 \\ x_3 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} = B_1\]使用行列式的性质9，有
\[(\det A)(x_1) = \det B_1,\ or \ , x_1=\frac{\det {B_1}}{\det A}\]这样就求出x中的一个值\(x_1\).
按照上面的想法，我们可以得到\(x_2\):
\[\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1} & \boldsymbol{a_2} & \boldsymbol{a_3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & x_1 & 0 \\ 0 & x_2 & 0 \\ 0 & x_3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1} & \boldsymbol b & \boldsymbol{a_3} \end{bmatrix} = B_2\]对上面的矩阵求行列式得\((\det A)(x_2)=\det{B_2}\).
同样的方式，可得到\(x_3\)的表达式。
这样就得到克莱姆法则：
如果矩阵A的行列式不为0，可利用一下式子求解线性方程组\(\boldsymbol{Ax=b}\)：
\(x_1 = \frac{\det{B_1}}{\det A}, x_2 = \frac{\det{B_2}}{\det A}, \cdots, x_n = \frac{\det{B_n}}{\det A}\).
其中矩阵\(B_j\)为用向量\(b\)取代系数矩阵A中的第j列后的矩阵。
根据克莱姆法则，我们可使用该法则计算一个矩阵的逆矩阵，前提是该矩阵存在逆矩阵。以3x3的矩阵A为例。
根据逆矩阵定义：\(AA^{-1}=I\)，可拆解该式为三个线性方程组：
\[\boldsymbol{Ax_1}=\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \boldsymbol{Ax_2}=\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \boldsymbol{A_3}=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}.\]这样我们根据克莱姆法则，计算得到\(x_1,x_2,x_3\)三个向量，这三个向量组成A的逆矩阵\(A^{-1}=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}\).
其中向量的各个元素可通过克莱姆法则求得。比如向量\(x_1\)的各元素计算可按照上面克莱姆法则。
\(\det B_1= \begin{vmatrix} 1 & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = C_{11}\),
\(\det B_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & 1 & a_{13} \\ a_{21} & 0 & a_{23} \\ a_{31} & 0 & a_{33} \end{vmatrix} = C_{12}\),
\(\det B_3 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & 0 \end{vmatrix} = C_{13}\).
那么逆矩阵\(A^{-1}\)第一列元素（即向量\(x_1\)的元素）分别为；
\((A^{-1})_{11} = \frac{C_{11}}{\det A}, (A^{-1})_{21} = \frac{C_{12}}{\det A}, (A^{-1})_{31} = \frac{C_{13}}{\det A}\).
依次类推，按克莱姆法则计算A逆矩阵的公式为：
\((A^{-1})_{ij}=\frac{C_{ji}}{\det A}, \ and \ A^{-1} = \frac{C^T}{\det A}\).
将上面公式展开进一步观察：
\(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & a_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \det A & 0 & 0 \\ 0 & \det A & 0 \\ 0 & 0 & \det A \end{bmatrix}\).
根据行列式的计算方法，我们可以看出该公式成立。
上式等式右边对角线上的元素为A的行列式，通过 如下公式得到：
\[a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}=\det A\]对于非对角线上的元素，我们可以看出：
\(a_{21}C_{11}+a_{22}C_{12}+a_{23}C_{13}=0\).
为什么上式为0，如果我们将矩阵A的第一列全部换成A的第二行元素，因为有两行元素相同，所以其行列式为0。
2.三角形的面积
只要知晓矩阵的长和宽，就能求得矩形面积。相对而言，三角形面积计算简单：底乘以高。但如果仅知道三角形三个角（点）的坐标，如下图，如何计算三角形的面积呢？答案是：利用行列式。
如果知晓三角形的三个角（点）的坐标，如上图最左边的三角形所示，该三角形的面积为：（3x3行列式的一半）
\[\frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\]当三角形为上图5.1中的中间那个三角形时，其面积为：
\[Aera=\frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix}, \ because \ (x_3, y_3)=(0, 0)\]至于如何证明，可参考书籍讲解。
Three dimension box体积（如下图所示）计算：
其体积为图中3点坐标值构成矩阵A的行列式值.
\[Volume \ of \ box = \det A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\]3.向量叉乘
两个向量叉乘的定义：
\(\boldsymbol u=(u_1, u_2, u_3), \boldsymbol v=(v_1, v_2, v_3)\) 为两个向量，其叉乘为：
\(\boldsymbol u \times \boldsymbol v =\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}=(u_2v_3-u_3v_2)\vec i + (u_3v_1-u_1v_3)\vec j+(u_1v_2-u_2v_1)\vec k\).
两向量叉乘仍然得到一个向量。
其性质:
- 顺序：\(\vec u \times \vec v=-\vec v \times \vec u\)
- 垂直：\((\vec u \times \vec v) \perp \vec u, (\vec u \times \vec v) \perp \vec v\)
- 自叉乘为0向量: \((\vec u \times \vec u)=\vec 0\)
两向量叉乘的模：
\[\parallel \vec u \times \vec v \parallel = \parallel \vec u \parallel \parallel \vec v \parallel |\sin \theta|\]4.三重积=行列式=体积
三重积（Triple product）：
\[(\vec u \times \vec v) \cdot w = \begin{vmatrix} w_1 & w_2 & w_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}\]Changelog
@Anifacc
2017-07-26 Beta 1.0
人生苦短, 为欢几何.
