线性代数:特征值特征向量应用微分方程

矩阵特征值特征向量简直是把利剑，应用相当广泛。现在就介绍应用于微分方程。将常系数微分方程转化到线性代数领域求解。这部分内容算是振动分析的数学基础。

本文内容是参考文献¹的学习笔记.主要内容：

• du/dt=Au 一阶常系数微分方程
• 二阶常系数微分方程
• 2x2矩阵的稳定性
• 矩阵的指数

1.du/dt=Au 一阶常系数微分方程

还记得微积分中如何求解一阶常系数微分方程（du/dt=u）的么？

根据初始条件t=0时的值u(0)，我们可得到u(t).

这是简单的1x1问题，如果进入nxn的线性代数领域，对于n个一阶线性方程组（标量u就变为向量\(\boldsymbol u\)），该如何解决？

前提：线性微分方程（线性的哦）。

这里我们利用矩阵特征值和特征向量来解线性方程组。

其中\(\lambda , x\) 分别为矩阵A的特征值和特征向量。

例1：已知\(\boldsymbol u(0) = \begin{bmatrix} 4 \\ 2\end{bmatrix}\), 求解 \(d \boldsymbol u / dt = A \boldsymbol u =\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\boldsymbol u\)

矩阵A的特征值分别为1和-1，对应的特征向量分别为(1,1)和（1,-1）. 那么一阶微分方程组的解为：

\(u_{1}(t)=e^{\lambda_1 t}x_1=e^{t}\begin{bmatrix} 1 \\ 1\end{bmatrix}, u_2(t)=e^{\lambda_2 t}x_2=e^{-t}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}\).

观察发现：\(\boldsymbol u\)也是特征向量，满足\(Au_1=u_1, Au_2=-u_2\).如此：\(du_1/dt=u_1=Au_1, du_2/dt = -u_2=Au_2\).

我们可以得到通解：

根据初始条件\(u_0\)，我们可以得到参数C和D的值分别为：

有没有发现这个过程和线性代数:矩阵对角化 中提到的解\(u_k = Au_k\)类似。求解过程分为三步：

1. u(0) 用矩阵A的特征向量（线性独立）来表示\(\boldsymbol u(0)=c_1\boldsymbol x_1 + \cdots + c_n\boldsymbol x_n\);
2. 每个特征向量乘以\(e^{\lambda_i t}\);
3. u(t)的解为\(e^{\lambda t}\boldsymbol x\)的组合：\(\boldsymbol u(t)=c_1e^{\lambda_1 t}\boldsymbol x_1 + \cdots + e^{\lambda_n t}\boldsymbol x_n\)

备注：以上没有考虑矩阵特征值相同的情形。

2.二阶常系数微分方程

对于二阶常系数微分方程：

在振动基础中是最常见的公式。利用线性代数来解特别方便。

经过变化：

看，我们的二阶常系数微分方程变为一阶矩阵形式：\(d\boldsymbol u/dt = A\boldsymbol u\).

下面的解法就是利用上面求解一阶方程组的方法来求解。

求矩阵A的特征值：

可得到特征值分别记为\(\lambda_1, \lambda_2\), 其特征向量为

解为：

如果有初始条件的话，就可以求出参数。

3.2x2矩阵的稳定性

For the solution of du/dt = Au, there is a fundamental question. Does the solutionapproach u = 0 as t—>+ oo? Is the problem stable, by dissipating energy?

求得解u(t)在时间t趋于无穷时，u是否也趋于0。也就是系统是否稳定。系统的稳定有赖于矩阵A。 可以从上面的案例中的解看出，只要指数中的\(\lambda\) 为负值，那么时间t趋于无穷大时，u就趋于0。

稳定性：

A is stable and \(u(t) \rightarrow 0\) 当A所有特征值为负数。 2x2 的矩阵\(A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)必须满足：

• 矩阵的迹小于0， trace = a+d = \(\lambda_1 + \lambda_2 < 0\)
• 矩阵行列式大于0，\(\lambda_1 \lambda_2 > 0\) 。

4.矩阵指数形式

关于矩阵的指数形式\(e^{At}\)，其所在层面似乎上了一层，我暂时没有完全明白。看书籍讲解，我还是似懂非懂，和一般的e的指数类比理解，看上去清晰些。

矩阵指数形式： \(e^{At} = I + At + \frac{1}{2}(At)^2 + \frac{1}{6}(At)^3 + \cdots\)

对矩阵指数求对t的导数： \(Ae^{At} = A+ A^2t + \frac{1}{2}A^3t^2 + \cdots\)

其特征值为\(e^{\lambda t}\): \((I + At + \frac{1}{2}(At)^2 + \frac{1}{6}(At)^3 + \cdots)\boldsymbol = (1 + \lambda t + \frac{1}{2}(\lambda t)^2 + \frac{1}{6}(\lambda t)^3) + \cdots\)

如果矩阵A可对角化，则：

再来看看 \(Se^{\Lambda t}S^{-1}u(0) = u(t)\)

这个解和常系数微分方程的解一样：

同样的三部曲。

看！作者将以上放在一起讲解，似乎是看重他们的通性。那么我们就得思考下，这个通性是什么？是否还存在其他类似的性质？

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@anifac
2017-08-02 beta 1.0

人生苦短, 为欢几何.