顽想学概率一-3w-你知道概率独立性么
05 May 2017顽想学概率一 第三周的主题:
- 概率的独立性
- 图解复杂概率问题
- 数数计算概率
1 概率的独立性
两事件的独立
定义:若两个事件 A, B 的概率满足 \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\), 则 A, B 两事件成为概率上的独立事件.
独立和交集并集的概念完全不同的哈. A与B相互独立, 并不代表A与B没有交集.
我觉得还是下面这个定义好理解:
更好的定义: 若两个事件 A, B 的概率满足 \(P(A \mid B) = P(A)\), 则 A, B两事件成为概率上的独立事件.
换句话说, 不论事件B 发生的概率如何, 事件 A 在条件 B 下发生的概率与 B 无关, 为P(A).
多事件的独立
根据两独立事件的定义, 我们可以推导出多个事件的独立性定义.
若事件 \(A_1, A_2, ..., A_n\)满足下列条件, 则称此 n 个事件独立(n>2):
从中任选 m 个事件 \(A_{i_1}, A_{i_2}, ..., A_{i_m}\), 均满足 \(P(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap ... \cap A_{i_m}) = P(A_{i_1})P(A_{i_2})...P(A_{i_m}), m=2, 3, ..., n.\)
这个是可以慢慢推导而来的.假如说有5个事件, 如果要证明他们相互独立就需要证明的次数为: \(C^2_5+C^3_5+C^4_5+C^5_5=26.\)两两相互独立. 从证2个事件到3个事件再到5个事件.
2 图解复杂概率
- 先观察问题的实验结构
- if 分解为多个子实验?
- then 图解法
3 数数计算概率
古典概率: 假设每个试验结果 outcome 发生机率相同.
数数计算概率前的判断:
- Distinguishable? 所有对象可区分么?
- With/Without Replacement? 实验中抽选的对象是否还要放回?
- Order or unordered? 被抽选的东西, 抽选的顺序是否有差异?顺序有没有要求?
若某种实验有 n 种不同结果，而另一种实验有 m 种不同结果。若操作此两实验将有 nm 种不同结果。
- 排列 Permutation
- 重复选取 Choose with replacements
- 组合 Combination
- 多项组合 Multinomial
排列
Example: 小美是个富婆, 周末两日开车去沃尔玛超市购物, 从她的豪车中选车(法拉利, 玛莎拉蒂, 保时捷)去超市. 若两日所选的车不可重复, 问有多少种结果?
- 可区分兮? Yes
- 有放回兮? No
- 顺序差异兮? Yes
A: 3(六) x 2(日) = 6 种
一般的就是:
若有 n 个异物, 从中依序取出 k 个, 共有多少中结果?
A:
| #1 | #2 | #3 | … | #k | outcome |
|---|---|---|---|---|---|
| n | n-1 | n-2 | … | n-(k-1) | \(\frac{n!}{(n-k)!}\) |
重复选取
Example: 小美是个富婆, 周末两日开车去沃尔玛超市购物, 从她的豪车中选车(法拉利, 玛莎拉蒂, 保时捷)去超市. 若两日所选的车是可以重复的，比如周六开了法拉利, 周日还可以开法拉利, 问有多少种结果?
- 可区分兮? Yes
- 有放回兮? Yes
- 顺序差异兮? Yes
A: 3(六) x 3(日) = 9 种
一般性:
若有 n 个异物, 从中选取一物, 每次取出之后放回. 依次选取k次, 共有多少中结果?
| #1 | #2 | #3 | … | #k | outcome |
|---|---|---|---|---|---|
| n | n | n | … | n | \(n^k\) |
组合
example: 小美爱玩狼人杀. 从5个女仆中选取3个玩这个游戏, 问有多少种游戏组合?
- 可区分兮? Yes
- 有放回兮? no 无放回
- 顺序差异兮? no 人员顺序无所谓
A: \(\frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3!}=C^{3}_{5}\) : 5 choose 3.
一般：
若有n个异物, 从中取出k个物, 共有多少种结果?
| #1 | #2 | #3 | … | #k | outcome |
|---|---|---|---|---|---|
| n· | (n-1)· | (n-2)· | … | (n-(n-k))/(k!) | \(C^{k}_{n}=\frac{n!}{(n-k)!k!}\) |
例子: 12名篮球队员中随便选5个作为首发的结果.
多项组合
若有 m 种异物，每次选物从中选一后放回，依序选 n 次. 如此共有 \(m^n\) 种实验结果. 其中在这 \(m^n\) 种实验结果中, 第1种异物出现 \(n_1\) 次且第2种异物出现\(n_2\)次且…第m种异物出现\(n_m\)次, 这样的誓言结果共有多少种?
A: 组合=\(C^{n_1}_{n} \cdot C^{n_2}_{n-n_1} \cdot C^{n_3}_{n-n_1-n_2} \cdots C^{n_m}{n_m}=\frac{n!}{n_{1}!n_{2}! \cdots n_{m}!}\) 多项式系数.
在古典概率的基础上 碰到此类多项组合的情况, 如何使用: Application how
- 先计算任一个实验结果的概率
- 再计算该事件共包含多少个实验结果
- 两者相乘便得到该事件的概率
@Anifacc
2017-05-05
人生苦短, 为欢几何.
